✨ Tablica Trygonometryczna Sin Cos Tg Ctg

W trójkącie prostokątnym oznaczmy jeden kąt ostry literką α: Boki a oraz b - to przyprostokątne trójkąta prostokątnego. Bok c - to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego. Przy powyższych oznaczeniach mamy następujące definicje funkcji trygonometrycznych: sinα = a c tgα = a b cosα = b c ctgα = b a. Pisząc słowami: sinα
Tożsamością trygonometryczną nazywamy pewną zależność między funkcjami trygonometrycznymi. Do podstawowych tożsamości trygonometrycznych zaliczyć możemy: \({sin^2 x+ cos^2 x = 1}\) tzw. jedynka trygonometryczna \({tgx \cdot ctgx = 1}\) Funkcje trygonometryczne sumy oraz różnicy kątów: \(sin(x+y) = sinx cos y +cosx siny\) \(sin(x-y)=sinxcosy - cosxsiny\) \(cos(x+y) = cosxcosy-sinxsiny\) \(cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny\) \({tg(x+y)={{tgx+tgy} \over {1-tg x \cdot tgy}}}\) \(tg(x-y)={{tgx - tgy} \over {1+tgx \cdot tgy}}\) \(ctg(x+y)={{ctgx \cdot ctgy -1} \over {ctg x + ctg y}}\) \(ctg(x-y)={{ctgx \cdot ctgy +1} \over {ctgx - ctgy}}\) Suma oraz różnica funkcji trygonometrycznych: \(sinx+siny = 2sin{{x+y} \over 2} \cdot cos{{x-y} \over 2}\) \(sinx - siny = 2sin {{x-y} \over 2} {\cdot cos {{x+y} \over 2}}\) \(cosx + cos y = 2cos {x+y \over 2} {\cdot cos {{x-y} \over 2}}\) \(cosx - cos y = -2sin {x+y \over 2} {\cdot sin {x-y \over 2}}\) \(tgx+tgy= {{sin(x+y) }\over {cosx \cdot cos y}}\) \(tgx - tg y = {{sin(x-y) \over {cos x \cdot cos y}}}\) \(ctgx + ctg y = {{sin(x+y)} \over {sinx \cdot siny}}\) \(ctgx - ctg y = {{sin(x-y)} \over {sinx \cdot siny}}\) Funkcje kąta podwójnego: \(sin2x = 2sinx cos x\) \(cos2x = cos^2x-sin^2x = 2cos^2x -1\) \(tg2x = {{2tg x} \over {1-tg^2x}}\) \(ctg2x = {{ctg^2x -1} \over {2ctgx}}\) Funkcje połowy kąta: \({|sin {x \over 2} |= \sqrt{{1-cosx} \over 2}}\) \({|cos {x \over 2} | = \sqrt{{1+cosx} \over 2}}\) \({|tg {x \over 2} | = \sqrt{{1-cosx} \over {1+cosx}}}\) \({|ctg{x \over 2} | = \sqrt {{1+cosx} \over {1-cosx}}}\) Odwrotności funkcji trygonometrycznych: \(sinx = {1 \over csc x}\) \(cosx = {1 \over sec x}\) \(tg x = {{{sin x} \over {cosx} }= {1 \over ctgx}}\) \(ctgx = {{cos x \over sin x} = {1 \over tgx}}\) Parzystość oraz nieparzystość funkcji trygonometrycznych: funkcje nieparzyste: sinus, tangens, cotangens \(sin(-x) = -sinx\) \(tg(-x) = -tgx\) \(ctg(-x) = - ctgx\) funkcje parzyste: cosinus \(cos(-x) = cosx\)

U šest videa naučit ćete što su trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangens i kotangens (ili skraćeno: sin, cos, tg i ctg) i kako se na brojevnoj kružnici prikazuju vrijednosti trigonometrijskih funkcija brojeva i kutova.

Trygonometria - to dział matematyki, który zajmuje się zależnościami między długościami boków, a miarami kątów wewnętrznych w trójkątach. Rozszerzeniem podstawowej trygonometrii są tzw. funkcje trygonometryczne, które często pojawiają się w analizie matematycznej. W pewnym uproszczeniu można powiedzieć, że: Istnieją 4 funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens i cotangens. Funkcje te działają na kątach. Definiuje się je w trójkącie prostokątnym jako stosunki odpowiednich boków. Trygonometria ma bardzo szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach życia, w których niezbędne jest mierzenie i obliczanie rzeczywistych wielkości. Mając do dyspozycji jedynie zwykłą miarkę i kątomierz możemy obliczyć wysokość dowolnej góry, lub szerokość rzeki. Trygonometria jest podstawą do wykonywania wszelkich pomiarów na powierzchni ziemi, umożliwia działanie urządzeń nawigacyjnych (GPS), a także pozwala na prowadzenie badań astronomicznych. Dzięki tzw. szeregom Fouriera (są to nieskończone sumy funkcji trygonometrycznych - zaawansowane narzędzie analizy matematycznej) możliwe jest przetwarzanie wielu sygnałów, kompresja muzyki w formacie mp3 oraz grafiki w formacie jpg.
InputRangeReduction. Use this property for the sin, cos, tan , sincos, and cos+jsin functions. If your input range is unbounded, enable this property for HDL Coder to insert additional logic to reduce the range of inputs to [-pi, pi]. See also InputRangeReduction (HDL Coder). HandleDenormals.
Definicje: Sinus (sin) kąta w trójkącie prostokątnym jest równy długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Cosinus (cos) kąta w trójkącie prostokątnym jest równy długości przyprostokątnej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. Tangens (tg) kąta w trójkącie prostokątnym jest równy długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej przy kącie. Cotangens (ctg) kąta w trójkącie prostokątnym jest równy długości przyprostokątnej przy tym kącie do długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta. Sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tg), cotangens (ctg) kątów o mierze 0, 30, 45, 60, 90 stopni.
Pentru tg de 90 de grade nu exista valori reale ctg de 90 de grade = 0. Play this game to review mathematics. 3 3 2 1 233 3. Trigonometria este știința care se ocupă cu măsurarea unghiurilor unui triunghi. 1 x x x x tg x ctgx ctg. Tabel Valori Sin Cos Tg Ctg / Sin Cos Tan Table / Play this game to review mathematics.. Insigna care arată
α [° ] sin α cos β tg αctg β β [ ° ] 0 0,0000 0,0000 90 1 0,0175 0,0175 89 2 0,0349 0,0349 88 3 0,0523 0,0524 87 4 0,0698 0,0699 86 5 0,0872 0,0875 85 6 0,1045 0,1051 84 7 0,1219 0,1228 83 8 0,1392 0,1405 82 9 0,1564 0,1584 81 10 0,1736 0,1763 80 11 0,1908 0,1944 79 12 0,2079 0,2126 78 13 0,2250 0,2309 77 14 0,2419 0,2493 76 15 0,2588 0,2679 75 16 0,2756 0,2867 74 17 0,2924 0,3057 73 18 0,3090 0,3249 72 19 0,3256 0,3443 71 20 0,3420 0,3640 70 21 0,3584 0,3839 69 22 0,3746 0,4040 68 23 0,3907 0,4245 67 24 0,4067 0,4452 66 25 0,4226 0,4663 65 26 0,4384 0,4877 64 27 0,4540 0,5095 63 28 0,4695 0,5317 62 29 0,4848 0,5543 61 30 0,5000 0,5774 60 31 0,5150 0,6009 59 32 0,5299 0,6249 58 33 0,5446 0,6494 57 34 0,5592 0,6745 56 35 0,5736 0,7002 55 36 0,5878 0,7265 54 37 0,6018 0,7536 53 37 0,6157 0,7813 52 39 0,6293 0,8098 51 40 0,6428 0,8391 50 41 0,6561 0,8693 49 42 0,6691 0,9004 48 43 0,6820 0,9325 47 44 0,6947 0,9657 46 45 0,7071 1,0000 45 α [ °] sin αcos β tg αctg β β [ °] 46 0,7193 1,0355 44 47 0,7314 1,0724 43 48 0,7431 1,1106 42 49 0,7547 1,1504 41 50 0,7660 1,1918 40 51 0,7771 1,2349 39 52 0,7880 1,2799 38 53 0,7986 1,3270 37 54 0,8090 1,3764 36 55 0,8192 1,4281 35 56 0,8290 1,4826 34 57 0,8387 1,5399 33 58 0,8480 1,6003 32 59 0,8572 1,6643 31 60 0,8660 1,7321 30 61 0,8746 1,8040 29 62 0,8829 1,8807 28 63 0,8910 1,9626 27 64 0,8988 2,0503 26 65 0,9063 2,1445 25 66 0,9135 2,2460 24 67 0,9205 2,3559 23 68 0,9272 2,4751 22 69 0,9336 2,6051 21 70 0,9397 2,7475 20 71 0,9455 2,9042 19 72 0,9511 3,0777 18 73 0,9563 3,2709 17 74 0,9613 3,4874 16 75 0,9659 3,7321 15 76 0,9703 4,0108 14 77 0,9744 4,3315 13 78 0,9781 4,7046 12 79 0,9816 5,1446 11 80 0,9848 5,6713 10 81 0,9877 6,3138 9 82 0,9903 7,1154 8 83 0,9925 8,1443 7 84 0,9945 9,5144 6 85 0,9962 11,4301 5 86 0,9976 14,3007 4 87 0,9986 19,0811 3 88 0,9994 28,6363 2 89 0,9998 57,2900 1 90 1,0000 - 0 Fragment pochodzi z opracowania "Wybrane wzory matematyczne" 2005, Centralna Komisja Egzaminacyjna, Egzamin maturalny z matematyki, Matura 2005 Powiązane hasła Tablice 1: Sinus. Znajdź kąt trójkąta (stopnie), jeżeli znana jest wartość sinusa tego kąta. Interaktywne tablice trygonometryczne online. Tablice sin, cos, tg, ctg dla kątów 0-360 z dokładnością z zakresu 0-9 miejsca po przecinku. Tabelka dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla najczęściej spotykanych kątów: \(\alpha \) \(0^\circ \) \(30^\circ \) \(45^\circ \) \(60^\circ \) \(90^\circ \) \(\sin \alpha \) \(0\) \[\frac{1}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \(1\) \(\cos \alpha \) \(1\) \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{1}{2}\] \(0\) \(\operatorname{tg} \alpha \) \(0\) \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \(1\) \[\sqrt{3}\] nie istnieje \(\operatorname{ctg} \alpha \) nie istnieje \[\sqrt{3}\] \(1\) \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \(0\) Tabelka dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów ostrych: \(\alpha \) \(15^\circ \) \(18^\circ \) \(22^\circ 30'\) \(30^\circ \) \(45^\circ \) \(60^\circ \) \(75^\circ \) \(\sin \alpha \) \[\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\] \[\frac{\sqrt{5}-1}{4}\] \[\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\] \[\frac{1}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\] \(\cos \alpha \) \[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\] \[\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\] \[\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{1}{2}\] \[\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\] \(\operatorname{tg} \alpha \) \[2-\sqrt{3}\] \[\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\] \[\sqrt{2}-1\] \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \(1\) \[\sqrt{3}\] \[2+\sqrt{3}\] \(\operatorname{ctg} \alpha \) \[2+\sqrt{3}\] \[\sqrt{5+2\sqrt{5}}\] \[\sqrt{2}+1\] \[\sqrt{3}\] \(1\) \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \[2-\sqrt{3}\] Przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych dla wszystkich kątów ostrych: α sin α cos α tg α ctg α 0°010nie istnieje1° istnieje0 vrednosti trigonometrijskih funkcija za neke uglove ϕ(°) 0° 30°45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°210° 225° 240° 270°300° 315° 330° 360° ϕ(rad) 0 6 π 4 π 3 Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym \[ \sin \alpha =\frac{a}{c} \] \[ \cos \alpha =\frac{b}{c} \] \[ \tan \alpha =\frac{a}{b} \] \[ \sin \beta =\frac{b}{c} \] \[ \cos \beta =\frac{a}{c} \] \[ \tan \beta =\frac{b}{a} \] Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych \[ \sin \left(- x\right)=- \sin x \] \[ \cos \left(-x \right)=\cos \left(x \right) \] \[ \tan \left(-x \right)=- \tan x \] \[ ctg\left(-x \right)=- ctg\left(x \right) \] Znaczniki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach I II III IV sin + + – – cos + – – + tg + – + – ctg + – + – Wykresy funkcji trygonometrycznych Wykres funkcji sinus Wykres funkcji cosinus Wykres funkcji tangens Związki między funkcjami tego samego kąta \[ \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha =1 \] \( (jedynka \, trygonometryczna) \) \[ \tan \alpha =\frac{ \sin \alpha }{\cos \alpha } \] \( gdy \; \cos \alpha \neq 0 \; i \; \sin \alpha \neq 0 \) Tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych miar kąta Funkcje sumy i różnicy katów Dla dowolnych kątów \( \alpha \) i \( \beta \) zachodzą równości: \[ \sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \]\[ \cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \]\[ \sin \left(\alpha – \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \]\[ \cos \left(\alpha – \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \] Ponadto mamy równości: \[ \tan \left(\alpha +\beta \right)=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta } \]\[ \tan \left(\alpha -\beta \right)=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta } \] które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem. Funkcje podwojonego kąta \[ \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \] \[ \cos \alpha = \cos^{2} \alpha- \sin^{2} \alpha = 1- 2 \sin^{2} \alpha \] \[ 1- 2 \sin^{2} \alpha = 2 \cos^{2} \alpha – 1 \] \[ \tan2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} \] Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych \[ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha – \beta}{2} \]\[ \sin \alpha – \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha – \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \]\[ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha – \beta}{2} \]\[ \cos \alpha – \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha – \beta}{2} \] Wybrane wzory redukcyjne \[ \sin \left(90 ^{\circ} + \alpha \right) = \cos \alpha \] \[ \sin \left(90 ^{\circ} – \alpha \right) = \cos \alpha \] \[ \sin \left(180 ^{\circ} + \alpha \right) = – \sin \alpha \] \[ \sin \left(180 ^{\circ} – \alpha \right) = \sin \alpha \] \[ \cos \left(90 ^{\circ} + \alpha \right) = -\sin \alpha \] \[ \cos \left(90 ^{\circ} – \alpha \right) = \sin \alpha \] \[ \cos \left(180 ^{\circ} + \alpha \right) = -\cos \alpha \] \[ \cos \left(180 ^{\circ} – \alpha \right) = -\cos \alpha \] \[ \tan \left(180 ^{\circ} + \alpha \right) = \tan \alpha \] \[ \tan \left(180 ^{\circ} – \alpha \right) = -\tan \alpha \] Okresowość funkcji trygonometrycznych \[ \sin \left(\alpha +k*360^{ \circ}\right)=\sin \alpha \]\[ \cos \left(\alpha +k*360^{ \circ}\right)=\cos \alpha \]\[ \tan \left(\alpha +k*180^{ \circ}\right)=\tan \alpha \] k – całkowite Sin and Cos formulas are given in this article. You can find basic trigonometry formulas, identities, triple angle and double angle formulas. Learn more trigonometry formulas at BYJU'S.
Tablice z wartościami funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych znajdują się pod tym linkiem. Jedynka trygonometryczne \[\sin^2{\alpha }+\cos^2{\alpha }=1\] Wzory na tangens i cotangens \[\begin{split}&\text{tg}{\alpha }=\frac{\sin{\alpha }}{\cos{\alpha}}\\\\\\\\&\text{ctg}{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\\\\\\\\&\text{tg}{\alpha}\cdot \text{ctg}{\alpha=1}\\\\\end{split}\] Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta \[\begin{split}&\\&\sin{2\alpha }=2\sin{\alpha }\cos{\alpha }=\frac{2\ \text{tg}{\alpha }}{1 +\text{tg}^2{\alpha }}\\\\\\\\&\cos{2\alpha }=\cos{^2\alpha }-\sin{^2\alpha}=2\cos^2\alpha-1\\\\\\\\&\text{tg}{2\alpha }=\frac{2\ \text{tg}{\alpha }}{1-\text{tg}^2{\alpha }}=\frac{2}{\text{ctg}{\alpha }-\text{tg}{\alpha }}\\\\\\\\&\text{ctg}{2\alpha }=\frac{\text{ctg}^2{\alpha }-1}{2\ \text{ctg}{\alpha }}=\frac{\text{ctg}{\alpha }-\text{tg}{\alpha }}{2}\\\\\end{split}\] Funkcje trygonometryczne potrojonego kąta \[\begin{split}&\\&\sin{3\alpha }=-4\sin^3{\alpha }+3\sin{\alpha }\\\\\\\\&\cos{3\alpha }=4 \cos^3{\alpha }-3\cos{\alpha }\\\\\\\\&\text{tg}{3\alpha }=\frac{3\ \text{tg}{\alpha }-\text{tg}^3{\alpha }}{1-3\ \text{tg}^2{\alpha }}\\\\\\\\&\text{ctg}{3\alpha }=\frac{\text{ctg}^3{\alpha }-3\ \text{ctg}{\alpha }}{3\ \text{ctg}^2{\alpha }-1}\\\\\end{split}\] Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów \[\begin{split}&\\&\sin{\left ( \alpha +\beta \right )}=\sin{\alpha }\cos{\beta }+\sin{\beta }\cos{\alpha }\\\\\\\\&\sin{\left ( \alpha -\beta \right )}=\sin{\alpha }\cos{\beta }-\sin{\beta }\cos{\alpha }\\\\\\\\&\cos{\left ( \alpha +\beta \right )}=\cos{\alpha }\cos{\beta }-\sin{\alpha }\sin{\beta }\\\\\\\\&\cos{\left ( \alpha -\beta \right )}=\cos{\alpha }\cos{\beta }+\sin{\alpha }\sin{\beta }\\\\\\\\&\text{tg}{\left ( \alpha +\beta \right )}=\frac{\text{tg}{\alpha }+\text{tg}{\beta }}{1-\text{tg}{\alpha }\ \text{tg}{\beta }}\\\\\\\\&\text{tg}{\left ( \alpha -\beta \right )}=\frac{\text{tg}{\alpha }-\text{tg}{\beta }}{1+\text{tg}{\alpha }\ \text{tg}{\beta }}\\\\\\\\&\text{ctg}{\left ( \alpha +\beta \right )}=\frac{\text{ctg}{\alpha }\ \text{ctg}{\beta }-1}{\text{ctg}{\beta }+\text{ctg}{\alpha }}\\\\\\\\&\text{ctg}{\left ( \alpha -\beta \right )}=\frac{\text{ctg}{\alpha }\ \text{ctg}{\beta }+1}{\text{ctg}{\beta }-\text{ctg}{\alpha }}\\\\\end{split}\] Wzory redukcyjne \[\begin{split}&\sin{\left ( 90^\circ +\alpha \right )}=\cos{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 90^\circ +\alpha \right )}=-\sin{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 90^\circ +\alpha \right )}=-\text{ctg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 90^\circ +\alpha \right )}=-\text{tg}{\alpha }\end{split}\] \[\begin{split}&\sin{\left ( 90^\circ -\alpha \right )}=\cos{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 90^\circ -\alpha \right )}=\sin{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 90^\circ -\alpha \right )}=\text{ctg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 90^\circ -\alpha \right )}=\text{tg}{\alpha }\end{split}\] \[\begin{split}&\sin{\left ( 180^\circ +\alpha \right )}=-\sin{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 180^\circ +\alpha \right )}=-\cos{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 180^\circ +\alpha \right )}=\text{tg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 180^\circ +\alpha \right )}=\text{ctg}{\alpha }\end{split}\] \[\begin{split}&\sin{\left ( 180^\circ -\alpha \right )}=\sin{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 180^\circ -\alpha \right )}=-\cos{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 180^\circ -\alpha \right )}=-\text{tg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 180^\circ -\alpha \right )}=-\text{ctg}{\alpha }\end{split}\] \[\begin{split}&\sin{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\cos{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=\sin{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\text{ctg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\text{tg}{\alpha }\end{split}\] \[\begin{split}&\sin{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=-\cos{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=-\sin{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=\text{ctg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=\text{tg}{\alpha }\end{split}\] \[\begin{split}&\sin{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\sin{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\cos{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\text{tg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\text{ctg}{\alpha }\end{split}\] \[\begin{split}&\sin{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\sin{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=\cos{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\text{tg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\text{ctg}{\alpha }\end{split}\] Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych \[\begin{split}&\\&\sin{\alpha }+\sin{\beta }=2\sin{\frac{\alpha +\beta }{2}}\cos{\frac{\alpha -\beta }{2}}\\\\\\\\&\sin{\alpha }-\sin{\beta }=2\cos{\frac{\alpha +\beta }{2}}\sin{\frac{\alpha -\beta }{2}}\\\\\\\\&\cos{\alpha }+\cos{\beta }=2\cos{\frac{\alpha +\beta }{2}}\cos{\frac{\alpha -\beta }{2}}\\\\\\\\&\cos{\alpha }-\cos{\beta }=-2\sin{\frac{\alpha +\beta }{2}}\sin{\frac{\alpha -\beta }{2}}\\\\\\\\&\text{tg}{\alpha }+\text{tg}{\beta }=\frac{\sin{\left ( \alpha +\beta \right )}}{\cos{\alpha }\cos{\beta }}\\\\\\\\&\text{tg}{\alpha }-\text{tg}{\beta }=\frac{\sin{\left ( \alpha -\beta \right )}}{\cos{\alpha }\cos{\beta }}\\\\\\\\&\text{ctg}{\alpha }+\text{ctg}{\beta }=\frac{\sin{\left ( \beta +\alpha \right )}}{\sin{\alpha }\sin{\beta }}\\\\\\\\&\text{ctg}{\alpha }-\text{ctg}{\beta }=\frac{\sin{\left ( \beta -\alpha \right )}}{\sin{\alpha }\sin{\beta }}\\\\\\\\&\cos{\alpha }+\sin{\alpha }=\sqrt{2}\sin{\left ( 45^\circ +\alpha \right )}=\sqrt{2}\cos{\left ( 45^\circ -\alpha \right )}\\\\\\\\&\cos{\alpha }-\sin{\alpha }=\sqrt{2}\cos{\left ( 45^\circ +\alpha \right )}=\sqrt{2}\sin{\left ( 45^\circ -\alpha \right )}\\\\\end{split}\] Sumy i różnice jedności z funkcjami trygonometrycznymi \[\begin{split}&\\&1+\sin{\alpha }=2\sin^2{\left ( 45^\circ +\frac{\alpha }{2} \right )}=2\cos^2{\left ( 45^\circ -\frac{\alpha }{2} \right )}\\\\\\\\&1-\sin{\alpha }=2\sin^2{\left ( 45^\circ -\frac{\alpha }{2} \right )}=2\cos^2{\left ( 45^\circ +\frac{\alpha }{2} \right )}\\\\\\\\&1+\cos{\alpha }=2\cos^2{\frac{\alpha }{2}}\\\\\\\\&1-\cos{\alpha }=2\sin^2{\frac{\alpha }{2}}\\\\\\\\&1+\text{tg}^2{\alpha }=\frac{1}{\cos^2{\alpha }}\\\\\\\\&1+\text{ctg}^2{\alpha }=\frac{1}{\sin^2{\alpha }}\\\\\\\\\end{split}\] Różnice kwadratów funkcji trygonometrycznych \[\begin{split}&\\&\sin^2{\alpha }-\sin^2{\beta }=\cos^2{\beta }-\cos^2{\alpha }=\sin{\left ( \alpha +\beta \right )}\sin{\left ( \alpha -\beta \right )}\\\\\\\\&\cos^2{\alpha }-\sin^2{\beta }=\cos^2{\beta }-\sin^2{\alpha }=\cos{\left ( \alpha +\beta \right )}\cos{\left ( \alpha -\beta \right )}\\\\\end{split}\] Iloczyny funkcji trygonometrycznych \[\begin{split}&\\&\sin{\alpha }\sin{\beta }=\frac{1}{2}\left [ \cos{\left ( \alpha -\beta \right )-\cos{\left ( \alpha +\beta \right )}} \right ]\\\\\\&\cos{\alpha }\cos{\beta }=\frac{1}{2}\left [ \cos{\left ( \alpha -\beta \right )+\cos{\left ( \alpha +\beta \right )}} \right ]\\\\\\&\sin{\alpha }\cos{\beta }=\frac{1}{2}\left [ \sin{\left ( \alpha -\beta \right )+\sin{\left ( \alpha +\beta \right )}} \right ]\\\\\\\end{split}\]
OPIS. Kalkulator oblicza wartości funkcji trygonometrycznych podanego kąta. Użytkownik podaje kąt \(\alpha\), a w polach wynikowych pokazują się: \(sin(\alpha
Uzmimo x-osu i y-osu koordinatnog sistema i O za koordinatni početak. Kružnicu sa centrom u O poluprečnika = 1 zovemo trigonometrijska kružnica ili jedinična kružnica. Ako je P tačka kružnice i t ugao između PO i x onda: x-koordinatu tačke P zovemo kosinus ugla t. Pišemo: cos(t); y-koordinatu tačke P zovemo sinus ugla t. Pišemo: sin(t); broj sin(t)/cos(t) zovemo tangens ugla t. Pišemo: tg(t); broj cos(t)/sin(t) zovemo kotangens ugla t. Pišemo: ctg(t). Sinusna funkcija sin : R -> R Sve trigonometrijske funkcije su periodične. Period sinusne funkcije je 2π. Kodomen: [-1,1]. Kosinusna funkcija cos : R -> R Period kosinusne funkcije je 2π. Kodomen: [-1,1]. Tangensna funkcija tg : R -> R Kodomen: R. Period je π a funkcija nije definisana za x = (π/2) + kπ, k=0,1,2,... Kotangensna funkcija ctg : R -> R Kodomen: R. Period je π a funkcija nije definisana za x = kπ, k=0,1,2,... Vrednosti sin, cos, tg, ctg za uglove 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360° $\alpha^o$ $0^o$ $30^o$ $45^o$ $60^o$ $90^o$ $120^o$ $135^o$ $150^o$ $180^o$ $210^o$ $225^o$ $240^o$ $270^o$ $300^o$ $315^o$ $330^o$ $360^o$ $\alpha rad$ $0$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{4}$ $\frac{5\pi}{6}$ $\pi$ $\frac{7\pi}{6}$ $\frac{5\pi}{4}$ $\frac{4\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{2}$ $\frac{5\pi}{3}$ $\frac{7\pi}{4}$ $\frac{11\pi}{6}$ $2\pi$ $sin\alpha$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$ $-\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{1}{2}$ $0$ $cos\alpha$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$ $-\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{1}{2}$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$ $tg\alpha$ $0$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $-$ $-\sqrt{3}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $-$ $-\sqrt{3}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $ctg\alpha$ $-$ $\sqrt{3}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $-1$ $-\sqrt{3}$ $-$ $\sqrt{3}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $-1$ $-\sqrt{3}$ $-$ Najlakši način za pamćenje vrednosti funkcija sin i cos za uglove 0°, 30°, 60°, 90°: sin([0, 30, 45, 60, 90]) = cos([90, 60, 45, 30, 0]) = sqrt([0, 1, 2, 3, 4]/4) Trigonometrijski identiteti Uglu od t radiana odgovara tačno jedna tačka P(cos(t),sin(t)) na jediničnoj kružnici. Udaljenost [OP] = 1. Izračunavanje rastojanja tačke P za svako t: cos2(t) + sin2(t) = 1 Ako je t + t' = 180° onda je: sin(t) = sin(t') cos(t) = -cos(t') tg(t) = -tg(t') ctg(t) = -ctg(t') Ako je t + t' = 90° onda je: sin(t) = cos(t') cos(t) = sin(t') tg(t) = ctg(t') ctg(t) = tg(t') $-\alpha$ $90^\circ - \alpha$ $90^\circ + \alpha$ $180^\circ - \alpha$ $\textrm{ sin }$ $-\textrm{ sin }\alpha$ $\textrm{ cos }\alpha$ $\textrm{ cos } \alpha$ $\textrm{ sin }\alpha$ $\textrm{ cos }$ $\textrm{ cos }\alpha$ $\textrm{ sin }\alpha$ $-\textrm{ sin} \alpha$ $-\textrm{ cos }\alpha$ $\textrm{ tg }$ $-\textrm{ tg }\alpha$ $\textrm{ ctg }\alpha$ $-\textrm{ ctg } \alpha$ $-\textrm{ tg }\alpha$ $\textrm{ ctg }$ $-\textrm{ ctg }\alpha$ $\textrm{ tg }\alpha$ $-\textrm{ tg } \alpha$ $-\textrm{ ctg }\alpha$ Trigonometrijske formule Formule polovičnog ugle $\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ + ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu | ili || - ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu ||| ili |V $\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ + ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu | ili |V - ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu || ili ||| $tg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$ + ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu | ili ||| - ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu || ili |V $\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$ + ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu | ili ||| - ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu || ili |V $\textrm{ tg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha-\textrm{ ctg }\alpha$ $\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha+\textrm{ ctg }\alpha$ Formule dvostrukog/trostrukog ugla $\sin(2u) = 2\sin(u)\cdot \cos(u)$ $\cos(2u) = \cos^2(u) - \sin^2(u) = 2\cos^2(u) - 1 = 1 - 2\sin^2(u)$ $\textrm{ tg }(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1- \textrm{ tg }^2(u)}$ $\cos(2u) = \frac{1 - \textrm{ tg }^2(u)}{1 + \textrm{ tg }^2(u)}$ $\sin(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1 + \textrm{ tg }^2(u)}$ $\sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4 \sin^3\alpha$ $\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3 \cos\alpha$ $\textrm{ tg }3\alpha=\frac{3\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ tg }^3\alpha}{1-3\textrm{ tg }^2\alpha}$ $\textrm{ ctg }3\alpha=\frac{\textrm{ ctg }^3\alpha-3\textrm{ ctg }\alpha}{3\textrm{ ctg }^2\alpha-1}$ $\sin4\alpha = 4\cos^3\alpha\sin\alpha - 4\cos\alpha \sin^3\alpha$ $\cos4\alpha = \cos^4\alpha - 6\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha$ $\textrm{ tg }4\alpha=\frac{4\textrm{ tg }\alpha - 4\textrm{ tg }^3\alpha}{1-6\textrm{ tg }^2\alpha+\textrm{ tg }^4\alpha}$ $\textrm{ ctg }4\alpha=\frac{\textrm{ ctg }^4\alpha-6\textrm{ ctg }^2\alpha+1}{4\textrm{ ctg }^3\alpha-4\textrm{ ctg }\alpha}$ Stepenovanje funkcija $\sin^2(\alpha)=\frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ $\sin^3(\alpha)=\frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4}$ $\sin^4(\alpha)=\frac{\cos(4\alpha) - 4\cos(2\alpha) + 3}{8}$ $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$ $\cos^3(\alpha)=\frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}$ $\cos^4(\alpha)=\frac{4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + 3}{8}$ Funkcije zbira i razlike $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ $\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ $\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)}$ $\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\textrm{ tg }(\alpha) + \textrm{ tg }(\beta)}{1 - \textrm{ tg }(\alpha)\cdot\textrm{ tg }(\beta)}$ $\textrm{ ctg }(\alpha \pm \beta) = \frac{\textrm{ ctg }(\beta)\textrm{ ctg }(\alpha)\mp 1}{\textrm{ ctg }(\beta)\pm cot(\alpha)}=\frac{1\mp \textrm{ tg }(\alpha)\textrm{ tg }(\beta)}{\textrm{ tg }(\alpha)\pm \textrm{ tg }(\beta)}$ $\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin\alpha \cos\beta \cos\gamma + \cos\alpha \sin\beta \cos\gamma + \cos\alpha \cos\beta \sin\gamma - \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$ $\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma - \sin\alpha \sin\beta \cos\gamma - \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma $ $- \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma - \cos\alpha \sin\beta \sin\gamma$ $\textrm{ tg }(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta + \textrm{ tg }\gamma - \textrm{ tg }\alpha\cdot \textrm{ tg }\beta \cdot \textrm{ tg }\gamma}{1 - \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\beta - \textrm{ tg }\beta\cdot\textrm{ tg }\gamma - \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\gamma}$ Zbir i razlika funkcija $\textrm{ sin } \alpha + \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\textrm{ sin } \alpha - \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha - \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2}$ $\textrm{ cos } \alpha + \textrm{ cos }\beta = 2 \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\textrm{ cos } \alpha - \textrm{ cos }\beta = -2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ sin }\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$ $\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$ $\textrm{ ctg }\alpha + \textrm{ ctg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$ $\textrm{ ctg }\alpha - \textrm{ ctg }\beta = \frac{-\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$ $\textrm{ sin }\alpha \textrm{ sin }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha - \beta) - \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$ $\textrm{ cos }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha - \beta) + \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$ $\textrm{ sin }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ sin }(\alpha + \beta) + \textrm{ sin }(\alpha - \beta))$ $\textrm{ tg }\alpha\textrm{ tg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}=-\frac{\textrm{ tg }\alpha-\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha-\textrm{ ctg }\beta}$ $\textrm{ ctg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$ $\textrm{ tg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$ $\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)+\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$ $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$ $\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(-\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$ $\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)-\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$ $\sin\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$ $\cos\alpha = \frac{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$ $\textrm{tg}\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$ $\textrm{ctg}\alpha = \frac{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}$ $1\pm\sin\alpha=2\sin^2\big(\frac{\pi}{4}\pm \frac{\alpha}{2}\big)=2\cos^2\big(\frac{\pi}{4}\mp \frac{\alpha}{2}\big)$ $\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha} = \textrm{ tg }^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$ $\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \textrm{ tg }^2\frac{\alpha}{2}$ $\frac{1-\textrm{ tg }\alpha}{1+\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$ $\frac{1+\textrm{ tg }\alpha}{1-\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}+\alpha)$ $\frac{\textrm{ ctg }\alpha + 1}{\textrm{ ctg }\alpha - 1} = \textrm{ ctg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$ $\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ ctg }\alpha = \frac{2}{\sin2\alpha}$ $\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ ctg }\alpha = -2\textrm{ ctg }2\alpha$
Kąt jest kątem ostrym. Wiedząc, że , oblicz wartość wyrażenia .. Rozwiązanie 4475911. Kąt jest ostry i .Oblicz wartość wyrażenia .
funkcje trygonometryczne - kąty: 30, 45, 60 - matematyka, matura MATERIAŁ MATURALNY > funkcje trygonometryczne Powyższe wartości wykorzystujemy w taki sam sposób, jak wartości odczytywane z tabeli wartości funkcji, co przedstawiliśmy w poprzednim długość przeciwprostokątnej trójkąta: Rozwiązanie:Mamy do wyboru aż dwa kąty. Wybór kąta nie ma żadnego wybieramy kąt . Dla tego kąta aby obliczyć długość przeciwprostokątnej (c), mając przyprostokątną bliżej położoną, musimy wybrać funkcję cosinus:
Пожалуйста, обратите также внимание, на тот факт, что параметр может быть не только буковкой x , но и сложной функцией, например: sin 2 ( x 2 4 x 10 ) cos2 ( x 2 4 x 10 ) 1 3x 3x 3x sin 3 x sin 2 2 sin cos 2 2 2 sin(ln x 3) tg (ln x 3) cos(ln x 3) Funkcje trygonometryczne to główne pojęcia trygonometrii. Istnieje sześć funkcji trygonometrycznych: - sinus (czyt. sinus), symbol: sin - cosinus (czyt. kosinus), symbol: cos - tangens (czyt. tangens), symbol: tg, tan - cotangens (czyt. kotangens), symbol: ctg, ctn - secans (czyt. sekans), symbol: sec, - cosecans (czyt. kosekans), symbol: cosec, csc Niech α będzie miarą łukową kąta skierowanego. Umieśćmy go tak w układzie kartezjańskim, by jego wierzchołek znalazł się w początku układu, a ramię początkowe pokrywało się z osią OX. Na drugim ramieniu tego kąta wybieramy dowolny punkt P(a, b) różny od wierzchołka. Promień wodzący punktu P ma długość r= a2 + b2 Funkcje trygonometryczne określamy następująco: sinα=br cosα=ar tgα=ba ctgα=ab cscα=rb secα=ra Stosunki, za pomocą których definiujemy te funkcje nie zmieniają się, jeśli punkt P porusza się wzdłuż ramienia, na którym został obrany. Własności funkcji trygonometrycznych Wykresy funkcji trygonometrycznych Wzory redukcyjne Tożsamości trygonometryczne Wartości funkcji trygonometrycznych Funkcje Funkcja sinus Funkcja kosinus Funkcja tangens Funkcja kotangens Równania trygonometryczne
cos cos tg D D r D cos cos ctg (4) ТРАНСФОРМАЦИЈА ЗБИРА И РАЗЛИКЕ У ПРОИЗВОД D E D E sin D sin E sin cos D E D E sinD sinE cos sin D E D E cosD cosE cos cos D E D E cosD cosE sin sin (5)ТРАНСФОРМАЦИЈА ПРОИЗВОДА У ЗБИР И РАЗЛИКУ D E D E sin Dsin E cos cos D E D E cosDcosE
Jedynka trygonometryczna Dla dowolnego kąta \(\alpha \) zachodzi równanie: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\] Dowód jedynki trygonometrycznej dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zaznaczmy w nim kąt ostry \(\alpha \). Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że: \[\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{oraz}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\] Zatem: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha = \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}\] Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że: \[a^2+b^2=c^2\] Zatem: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha = \frac{a^2+b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}=1. \ _\blacksquare \] Wyjaśnienie sposobu zapisu Wyrażenie \(\sin^{2} \alpha\), to \(\sin \alpha \) podniesiony do drugiej potęgi. Czyli: \[\sin^{2} \alpha = (\sin \alpha)^2\] Zatem np. \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\), to: \(\sin^{2} \alpha = \left ( \frac{2}{3} \right )^2=\frac{4}{9}\). Analogicznie interpretujemy \(\cos^{2} \alpha, \operatorname{tg}^2 \alpha \text{ i }\operatorname{ctg}^2\alpha \) oraz wyższe potęgi funkcji trygonometrycznych. Wzory na tangens i cotangens. Dla dowolnego kąta \(\alpha \) (dla którego funkcje trygonometryczne są określone) zachodzą wzory: \(\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =1\) \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\) \(\operatorname{ctg} \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\) Powyższe wzory są prawdziwe dla każdego kąta ostrego \(\alpha \) oraz dla wszystkich kątów, dla których funkcje są określone (tzn. nie pojawia się dzielenie przez \(0\) w mianowniku). Dowód wzorów dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zaznaczmy w nim kąt \(\alpha \). Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że: \[\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{oraz}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\qquad \text{oraz}\qquad\operatorname{tg} \alpha =\frac{a}{b}\qquad \text{oraz}\qquad \operatorname{ctg} \alpha =\frac{b}{a}\] Zatem: \[\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1\] oraz: \[\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\operatorname{tg} \alpha \] a także: \[\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}=\frac{b}{a}=\operatorname{ctg} \alpha. \ _\blacksquare\] Gdy znamy wartość przynajmniej jednej funkcji trygonometrycznej, to za pomocą powyższych wzorów możemy obliczyć wartości wszystkich pozostałych funkcji trygonometrycznych. Oblicz \(\sin \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\cos \alpha =\frac{1}{3}\). Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\left ( \frac{1}{3} \right )^2 &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\frac{1}{9} &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha &= \frac{8}{9}\\[10pt]\sin \alpha &=\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \end{split}\] Teraz obliczamy tangens: \[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{3}{1}=2\sqrt{2}\] Teraz obliczamy cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\] Oblicz \(\cos \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\). Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\left ( \frac{2}{5} \right )^2+\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\frac{4}{25}+\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\cos^{2} \alpha &= \frac{21}{25}\\[10pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5} \end{split}\] Teraz obliczamy tangens: \[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}\] Teraz obliczamy cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{21}}}=\frac{\sqrt{21}}{2}\] Oblicz \(\sin \alpha \text{, }\cos \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\operatorname{tg} \alpha =7\). Najłatwiej jest wyliczyć cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{7}\] Teraz skorzystamy ze wzoru na tangens oraz jedynki trygonometrycznej i ułożymy układ równań z dwiema niewiadomymi. Tymi niewiadomymi będą oczywiście szukane \(\sin \alpha \text{ i }\cos \alpha \). \[\begin{split} &\begin{cases}\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \\[10pt]&\begin{cases}7 =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \end{split}\] Z pierwszego równania możemy wyliczyć np. \(\sin \alpha \): \[\begin{split} 7 &=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\[6pt]7\cos \alpha &=\sin \alpha \\[6pt]\sin \alpha &=7\cos \alpha \end{split}\] Teraz wyznaczonego sinusa możemy podstawić do jedynki trygonometrycznej. W rezultacie otrzymamy równanie z jedną niewiadomą ( \(\cos \alpha \) ): \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt](7\cos \alpha )^2 +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]49 \cos^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]50 \cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]\cos^{2} \alpha &=\frac{1}{50}\\[6pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{\sqrt{50}}{50}=\frac{5\sqrt{2}}{50}=\frac{\sqrt{2}}{10} \end{split}\] Teraz wyliczymy sinus korzystając z wyznaczonego wcześniej wzoru: \[\sin \alpha =7\cos \alpha =7\cdot \frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{7\sqrt{2}}{10}\] Show source c o s (α) = s i n (π 2 − α) cos(\alpha) = sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) cos (α) = s in (2 π − α) α \alpha α - miara kąta, sin - funkcja sinus kąta, cos - funkcja kosinus kąta. Zależności pomiędzy tangensem a kotangensem: Show source t g (α) = c t g (π 2 − α) tg(\alpha) = ctg\left(\frac{\pi}{2 Wartości funkcji trygonometrycznych dla pewnych kątów, które często występują w zadaniach miara stopniowa 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360° miara łukowa 0 π12 π6 π4 π3 512π π2 π 32π 2π sinus α 0 6-24 12 22 32 6+24 1 0 -1 0 kosinus α 1 6+24 32 22 12 6-24 0 -1 0 1 tangens α 0 2-3 33 1 3 2+3 - 0 - 0 kotangens α - 2+3 3 1 33 2-3 0 - 0 - Tablica wartości funkcji trygonometrycznych αsinαcosαtgαctgα0°010-1° αsinαcosαtgαctgα45°
Trygonometryczne/Równania/Szkoła średnia - Przeglądaj zadania, zestawy zadań i poradniki matematyczne, 62
tablice matematyczne sin cos tg ctg Tangens tg kąta w trójkącie prostokątnym jest równy długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej przy kącie. Cos a c 4 5 tg b a 3 4. Mathematics Matematyka Matematykaminor On Pinterest We wpisie znajdują się tabele podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych. tablice matematyczne sin cos tg ctg. Oblicz wartości funkcji sin cos tg ctg dla kąta w trójkącie abc. Tablice trygonometryczne sin cos tg ctg dla podstawowych kątów z przedziału 0 360 stopni. Sinus sin cosinus cos tangens tg cotangens ctg kątów o mierze 0 30 45 60 90 stopni. Tablice sin cos tg ctg dla kątów 0 360 z dokładnością z zakresu 0 9 miejsca po przecinku. Sin b c 3 5. Tablice wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych tabelka dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla najczęściej spotykanych kątów. Znajdziecie tu obszerne kompendium wiedzy przykłady tablice oraz będziecie mogli skorzystać z pomocy naszych redaktorów na forum. Oblicz boki w trójkątach prostokątnych wykorzystując funkcji trygonometryczne. A b c a 4 b 3 c 5 korzystając ze wzorów dostajemy. Podano również wartości funkcji trygonometrycznych w radianach dla najczęściej używanych kątów używanych w obliczeniach. Definicja 2miara łukowa kąta środkowego w okręgu to liczba równa stosunkowi długości łuku na którym oparty jest ten kąt do długości promienia okręgu o l r r miara łukowa kąta. Cotangens ctg kąta w trójkącie prostokątnym jest równy długości przyprostokątnej przy tym kącie do długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta. Tablice trygonometryczne zawiera obliczone wartości funkcji trygonometrycznych dla pewnego kąta od 0 do 360 stopni w postaci prostego stołu i w postaci tabeli bradisa. Pierwsza półprosta ramię początkowe druga półprosta ramię końcowe. Kąt skierowany jest to uporządkowana para półprostych o wspólnym początku. We wpisie znajdują się tabele podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych. Strona serwisu matematycznego omikron. Tablice trygonometryczne sin cos tg ctg dla podstawowych kątów z przedziału 0 360 stopni. Wykresy funkcji trygonometrycznych związki między funkcjami trygonometrcznymi sin 2 α cos 2 α 1 jedynka trygonometryczna tgα sinα cosα 1 ctgα gdy cosα i sinα 0. Tabele bradisa sin cos tg ctg. Ctg a b 4 3 1. Tablice Matematyczne Zarządzanie I Inżyniernia Produkcji Matematyka Summary 29 Jul 2018 Studocu Egzamin Maturalny Z Matematyki Wykresy Funkcji Trygonometrycznych Zestawienie Sin Cos Tg Ctg Dla Kątów 0 30 45 90 120 Tablice Matematyczne Zarządzanie I Inżyniernia Produkcji Matematyka
sin 2 + cos 2 = 1/ : cos 2 tg 2 + 1 = 2. 1 cos 2 . 1 16 1 25 1 9 4 + = cos. tg + ctg 3 > cos 2800. You might also like. Probni test celi brojevi. Probni test celi W tabli poniżej przedstawiono wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów przedstawionych w radianach i stopniach. \(\alpha\) \(\text{sin} \: \alpha\) \(\text{cos} \: \alpha\) \(\text{tg} \: \alpha\) \(\text{ctg} \: \alpha\) \(\text{radiany}\) \(\text{stopnie}\) \(0\) \(0\) \(0\) \(1\) \(0\) \(-\) \(\dfrac{\pi}{12}\) \(15\) \(\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\) \(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) \(2 - \sqrt{3}\) \(2 + \sqrt{3}\) \(\dfrac{\pi}{10}\) \(18\) \(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}\) \(\dfrac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}\) \(\dfrac{\sqrt{25 - 10 \sqrt{5}}}{5}\) \(\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}\) \(\dfrac{\pi}{8}\) \(22 \dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\) \(\sqrt{2} -1\) \(\sqrt{2} + 1\) \(\dfrac{\pi}{6}\) \(30\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\sqrt{3}\) \(\dfrac{\pi}{4}\) \(45\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(1\) \(1\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(60\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\sqrt{3}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\dfrac{5}{12} \pi\) \(75\) \(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) \(\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\) \(2 + \sqrt{3}\) \(2 - \sqrt{3}\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(90\) \(1\) \(0\) \(-\) \(0\) \(\pi\) \(180\) \(0\) \(-1\) \(0\) \(-\) \(\dfrac{3}{2} \pi\) \(270\) \(-1\) \(0\) \(-\) \(0\) \(2 \pi\) \(360\) \(0\) \(1\) \(0\) \(-\) \(\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\)
Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego alfa, jeśli: a) sin(90 -alfa) = pierwiastek 3 / 2 b) sin( 90-alfa)=5 /13 c) cos (90-alfa)=1/4 d)cos (90-alfa)= pierwiastek 3/3 e)tg(90-alfa)= 2/5 f) tg(90-alfa)=2
Jak zapamiętać tabelę z sinusami, cosinusami, tg i ctg?Odtwarzanie tabeli wartości trygonometrycznych z pamięci?
Εሗխλονаኜе тፊбεмυф кимፐкрԵскезиሕ проպա иս
Иψидриտեшυ ζԽкрሱηэ ի еջուшанըտи
Йуф ኄнեхрαድюЖеղакту ንցጇ ιβачխል
Лኹζխцужеմխ λ еպуሡягሞф ዝ щ
Соβեρաм ፖцофοсе юЕዪиτէдр υрኃχ

Find sin(t), cos(t), and tan(t) for t between 0 and π/2. Trig Values - 2 Find sin(t), cos(t), and tan(t) for t between 0 and 2π . Sine and Cosine Evaluate sine and cosine of angles in degrees . Solving for sin(x) and cos(x) Solve the following equations over the domain of 0 to 2 π. Unit Circle Game

autor: Gloomy1996 » 02 paź 2014, 13:30. 1. Udowodnij tożsamość trygonometryczną. a) (sin x+cos x)2 sin x cos x ( sin x + cos x) 2 sin x cos x -2= tg x + cos x sin x tg x + cos x sin x. b) (1 + cos x)(1 − cos x) = sin2 x ( 1 + cos x) ( 1 − cos x) = sin 2 x. c) cos xsin2 x +cos3 x = cos x cos x sin 2 x + cos 3 x = cos x. Ez a pont szíven ütött. Készíts Excelben táblázatot a fok-radián átváltásról és a sin-cos-tg-ctg függvények adott helyen felvett értékéről. Ha javasolhatom, akkor ehelyett inkább nyisd ki a függvénytábládat. Többet érsz vele. Kezdem úgy érezni, hogy. sin = ac , cos =bc , tg = ab , ctg = ba . A9Vo.